सोडोवचें {l}{9m+6n=123}{9m+5n=113}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

m, n खातीर सोडोवचें

$$m=7$$

$$n=10$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक m वेगळावन m खातीर तें सोडोवचें.

$$9m+6n=123$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6n वजा करचें.

$$9m=-6n+123$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

-6n+123क \frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

9m+5n=113 ह्या दुस-या समिकरणांत m खातीर \frac{-2n+41}{3} बदलपी घेवचो.

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

\frac{-2n+41}{3}क 9 फावटी गुणचें.

$$-6n+123+5n=113$$

5n कडेन -6n ची बेरीज करची.

$$-n+123=113$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 123 वजा करचें.

$$-n=-10$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$n=10$$

m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3} त n खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

10क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{20}{3} क \frac{41}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=7,n=10$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां m आनी n काडचीं.

$$m=7,n=10$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 9m+6n=123 तल्यान 9m+5n=113 वजा करचो.

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

-9m कडेन 9m ची बेरीज करची. अटी 9m आनी -9m रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6n-5n=123-113$$

-5n कडेन 6n ची बेरीज करची.

$$n=123-113$$

-113 कडेन 123 ची बेरीज करची.

$$n=10$$

9m+5n=113 त n खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$9m+5\times 10=113$$

10क 5 फावटी गुणचें.

$$9m+50=113$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 50 वजा करचें.

$$9m=63$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$m=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=7,n=10$$