सोडोवचें {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$80x+160y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 160y वजा करचें.

$$80x=-160y+4$$

दोनुय कुशींक 80 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

-160y+4क \frac{1}{80} फावटी गुणचें.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

x+3y=0.1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y+\frac{1}{20} बदलपी घेवचो.

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

3y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{20} वजा करचें.

$$y=\frac{1}{20}$$

x=-2y+\frac{1}{20} त y खातीर \frac{1}{20} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

\frac{1}{20}क -2 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{1}{10} क \frac{1}{20} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{1}{20}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

80x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 80 न गुणचें.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

सोंपें करचें.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 80x+160y=4 तल्यान 80x+240y=8 वजा करचो.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

-80x कडेन 80x ची बेरीज करची. अटी 80x आनी -80x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$160y-240y=4-8$$

-240y कडेन 160y ची बेरीज करची.

$$-80y=4-8$$

-8 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$-80y=-4$$

दोनुय कुशींक -80 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{20}$$

x+3y=0.1 त y खातीर \frac{1}{20} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

\frac{1}{20}क 3 फावटी गुणचें.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{20} वजा करचें.

$$x=-\frac{1}{20}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$