सोडोवचें {l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-6$$

$$y=-7$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$8x-9y=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9y ची बेरीज करची.

$$8x=9y+15$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

9y+15क \frac{1}{8} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

-5x+3y=9 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{9y+15}{8} बदलपी घेवचो.

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

\frac{9y+15}{8}क -5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

3y कडेन -\frac{45y}{8} ची बेरीज करची.

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{75}{8} ची बेरीज करची.

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

-\frac{21}{8} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-7$$

x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8} त y खातीर -7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

-7क \frac{9}{8} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{63}{8} क \frac{15}{8} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-6,y=-7$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-6,y=-7$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

8x आनी -5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न गुणचें.

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

सोंपें करचें.

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -40x+45y=-75 तल्यान -40x+24y=72 वजा करचो.

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

40x कडेन -40x ची बेरीज करची. अटी -40x आनी 40x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$45y-24y=-75-72$$

-24y कडेन 45y ची बेरीज करची.

$$21y=-75-72$$

-72 कडेन -75 ची बेरीज करची.

$$21y=-147$$

दोनुय कुशींक 21 न भाग लावचो.

$$y=-7$$

-5x+3y=9 त y खातीर -7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

-7क 3 फावटी गुणचें.

$$-5x-21=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 21 ची बेरीज करची.

$$-5x=30$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-6,y=-7$$