सोडोवचें {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$8x-5y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$8x=5y+10$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

10+5yक \frac{1}{8} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

6x-4y=11 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} बदलपी घेवचो.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

\frac{5}{4}+\frac{5y}{8}क 6 फावटी गुणचें.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

-4y कडेन \frac{15y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{2} वजा करचें.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

दोनूय कुशीनीं -4 न गुणचें.

$$y=-14$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4} त y खातीर -14 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

-14क \frac{5}{8} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{35}{4} क \frac{5}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{15}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

8x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न गुणचें.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

सोंपें करचें.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 48x-30y=60 तल्यान 48x-32y=88 वजा करचो.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

-48x कडेन 48x ची बेरीज करची. अटी 48x आनी -48x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-30y+32y=60-88$$

32y कडेन -30y ची बेरीज करची.

$$2y=60-88$$

-88 कडेन 60 ची बेरीज करची.

$$2y=-28$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-14$$

6x-4y=11 त y खातीर -14 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

-14क -4 फावटी गुणचें.

$$6x+56=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 56 वजा करचें.

$$6x=-45$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{15}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$