सोडोवचें {l}{8x+7y=1}{5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 7 y = 1 } \\ { 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$8x+7y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$8x=-7y+1$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{8}\left(-7y+1\right)$$

-7y+1क \frac{1}{8} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}$$

5x+6y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-7y+1}{8} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}\right)+6y=1$$

\frac{-7y+1}{8}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{35}{8}y+\frac{5}{8}+6y=1$$

6y कडेन -\frac{35y}{8} ची बेरीज करची.

$$\frac{13}{8}y+\frac{5}{8}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{8} वजा करचें.

$$\frac{13}{8}y=\frac{3}{8}$$

\frac{13}{8} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{3}{13}$$

x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8} त y खातीर \frac{3}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{7}{8}\times \frac{3}{13}+\frac{1}{8}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{3}{13} क -\frac{7}{8} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{21}{104}+\frac{1}{8}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{21}{104} क \frac{1}{8} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{1}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{8\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{8\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{8\times 6-7\times 5}&\frac{8}{8\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{8}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-7}{13}\\\frac{-5+8}{13}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

8x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न गुणचें.

$$5\times 8x+5\times 7y=5,8\times 5x+8\times 6y=8$$

सोंपें करचें.

$$40x+35y=5,40x+48y=8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 40x+35y=5 तल्यान 40x+48y=8 वजा करचो.

$$40x-40x+35y-48y=5-8$$

-40x कडेन 40x ची बेरीज करची. अटी 40x आनी -40x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$35y-48y=5-8$$

-48y कडेन 35y ची बेरीज करची.

$$-13y=5-8$$

-8 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$-13y=-3$$

दोनुय कुशींक -13 न भाग लावचो.

$$y=\frac{3}{13}$$

5x+6y=1 त y खातीर \frac{3}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+6\times \frac{3}{13}=1$$

\frac{3}{13}क 6 फावटी गुणचें.

$$5x+\frac{18}{13}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{18}{13} वजा करचें.

$$5x=-\frac{5}{13}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$