सोडोवचें {l}{8x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{200}{7} = -28\frac{4}{7} \approx -28.571428571$$

$$y = \frac{545}{7} = 77\frac{6}{7} \approx 77.857142857$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$8x+3y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$8x=-3y+5$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+5\right)$$

-3y+5क \frac{1}{8} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}$$

3x+2y=70 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+5}{8} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}\right)+2y=70$$

\frac{-3y+5}{8}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}+2y=70$$

2y कडेन -\frac{9y}{8} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{8}y+\frac{15}{8}=70$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{8} वजा करचें.

$$\frac{7}{8}y=\frac{545}{8}$$

\frac{7}{8} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{545}{7}$$

x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8} त y खातीर \frac{545}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{8}\times \frac{545}{7}+\frac{5}{8}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{545}{7} क -\frac{3}{8} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{1635}{56}+\frac{5}{8}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{1635}{56} क \frac{5}{8} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{200}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{8\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}&\frac{8}{8\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 5+\frac{8}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{200}{7}\\\frac{545}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

8x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न गुणचें.

$$3\times 8x+3\times 3y=3\times 5,8\times 3x+8\times 2y=8\times 70$$

सोंपें करचें.

$$24x+9y=15,24x+16y=560$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 24x+9y=15 तल्यान 24x+16y=560 वजा करचो.

$$24x-24x+9y-16y=15-560$$

-24x कडेन 24x ची बेरीज करची. अटी 24x आनी -24x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$9y-16y=15-560$$

-16y कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$-7y=15-560$$

-560 कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$-7y=-545$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{545}{7}$$

3x+2y=70 त y खातीर \frac{545}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2\times \frac{545}{7}=70$$

\frac{545}{7}क 2 फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{1090}{7}=70$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1090}{7} वजा करचें.

$$3x=-\frac{600}{7}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{200}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$