सोडोवचें {l}{8x+3y=103.1}{12x+8y=139.4}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 103.1 } \\ { 12 x + 8 y = 139.4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{2033}{140} = 14\frac{73}{140} \approx 14.521428571$$

$$y = -\frac{61}{14} = -4\frac{5}{14} \approx -4.357142857$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$8x+3y=103.1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$8x=-3y+103.1$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+103.1\right)$$

-3y+103.1क \frac{1}{8} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}$$

12x+8y=139.4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} बदलपी घेवचो.

$$12\left(-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}\right)+8y=139.4$$

-\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80}क 12 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3093}{20}+8y=139.4$$

8y कडेन -\frac{9y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{2}y+\frac{3093}{20}=139.4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3093}{20} वजा करचें.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{61}{4}$$

\frac{7}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{61}{14}$$

x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80} त y खातीर -\frac{61}{14} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{8}\left(-\frac{61}{14}\right)+\frac{1031}{80}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{61}{14} क -\frac{3}{8} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{183}{112}+\frac{1031}{80}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{183}{112} क \frac{1031}{80} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{2033}{140}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-3\times 12}&-\frac{3}{8\times 8-3\times 12}\\-\frac{12}{8\times 8-3\times 12}&\frac{8}{8\times 8-3\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{28}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 103.1-\frac{3}{28}\times 139.4\\-\frac{3}{7}\times 103.1+\frac{2}{7}\times 139.4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2033}{140}\\-\frac{61}{14}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

8x आनी 12x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 12 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न गुणचें.

$$12\times 8x+12\times 3y=12\times 103.1,8\times 12x+8\times 8y=8\times 139.4$$

सोंपें करचें.

$$96x+36y=1237.2,96x+64y=1115.2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 96x+36y=1237.2 तल्यान 96x+64y=1115.2 वजा करचो.

$$96x-96x+36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

-96x कडेन 96x ची बेरीज करची. अटी 96x आनी -96x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

-64y कडेन 36y ची बेरीज करची.

$$-28y=\frac{6186-5576}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -1115.2 क 1237.2 ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$-28y=122$$

दोनुय कुशींक -28 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{61}{14}$$

12x+8y=139.4 त y खातीर -\frac{61}{14} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$12x+8\left(-\frac{61}{14}\right)=139.4$$

-\frac{61}{14}क 8 फावटी गुणचें.

$$12x-\frac{244}{7}=139.4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{244}{7} ची बेरीज करची.

$$12x=\frac{6099}{35}$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$x=\frac{2033}{140}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$