सोडोवचें {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-7$$

$$y=8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$7x+8y=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8y वजा करचें.

$$7x=-8y+15$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

-8y+15क \frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

9x+8y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-8y+15}{7} बदलपी घेवचो.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

\frac{-8y+15}{7}क 9 फावटी गुणचें.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

8y कडेन -\frac{72y}{7} ची बेरीज करची.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{135}{7} वजा करचें.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

-\frac{16}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=8$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7} त y खातीर 8 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

8क -\frac{8}{7} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{64}{7} क \frac{15}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-7,y=8$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-7,y=8$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 7x+8y=15 तल्यान 9x+8y=1 वजा करचो.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

-8y कडेन 8y ची बेरीज करची. अटी 8y आनी -8y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$7x-9x=15-1$$

-9x कडेन 7x ची बेरीज करची.

$$-2x=15-1$$

-1 कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$-2x=14$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-7$$

9x+8y=1 त x खातीर -7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

-7क 9 फावटी गुणचें.

$$-63+8y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 63 ची बेरीज करची.

$$8y=64$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$y=8$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-7,y=8$$