सोडोवचें {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$7x+5y=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$7x=-5y+12$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

-5y+12क \frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

8x-2y=7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+12}{7} बदलपी घेवचो.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

\frac{-5y+12}{7}क 8 फावटी गुणचें.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

-2y कडेन -\frac{40y}{7} ची बेरीज करची.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{96}{7} वजा करचें.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

-\frac{54}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{47}{54}$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7} त y खातीर \frac{47}{54} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{47}{54} क -\frac{5}{7} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{235}{378} क \frac{12}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{59}{54}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

7x आनी 8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न गुणचें.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

सोंपें करचें.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 56x+40y=96 तल्यान 56x-14y=49 वजा करचो.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

-56x कडेन 56x ची बेरीज करची. अटी 56x आनी -56x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$40y+14y=96-49$$

14y कडेन 40y ची बेरीज करची.

$$54y=96-49$$

-49 कडेन 96 ची बेरीज करची.

$$54y=47$$

दोनुय कुशींक 54 न भाग लावचो.

$$y=\frac{47}{54}$$

8x-2y=7 त y खातीर \frac{47}{54} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

\frac{47}{54}क -2 फावटी गुणचें.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{47}{27} ची बेरीज करची.

$$8x=\frac{236}{27}$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{59}{54}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$