सोडोवचें {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

w, z खातीर सोडोवचें

$$z=1$$

$$w=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2z वजा करचें.

$$5w-2z=8$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक w वेगळावन w खातीर तें सोडोवचें.

$$7w+2z=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2z वजा करचें.

$$7w=-2z+16$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

-2z+16क \frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

5w-2z=8 ह्या दुस-या समिकरणांत w खातीर \frac{-2z+16}{7} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

\frac{-2z+16}{7}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

-2z कडेन -\frac{10z}{7} ची बेरीज करची.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{80}{7} वजा करचें.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

-\frac{24}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$z=1$$

w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7} त z खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी w खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{2}{7} क \frac{16}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$w=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$w=2,z=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2z वजा करचें.

$$5w-2z=8$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां w आनी z काडचीं.

$$w=2,z=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2z वजा करचें.

$$5w-2z=8$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

7w आनी 5w बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न गुणचें.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

सोंपें करचें.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 35w+10z=80 तल्यान 35w-14z=56 वजा करचो.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

-35w कडेन 35w ची बेरीज करची. अटी 35w आनी -35w रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10z+14z=80-56$$

14z कडेन 10z ची बेरीज करची.

$$24z=80-56$$

-56 कडेन 80 ची बेरीज करची.

$$24z=24$$

दोनुय कुशींक 24 न भाग लावचो.

$$z=1$$

5w-2z=8 त z खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी w खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5w-2=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$5w=10$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$w=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$w=2,z=1$$