सोडोवचें {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$62x+y=44$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$62x=-y+44$$

दोनुय कुशींक 62 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

-y+44क \frac{1}{62} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

34x-y=36 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} बदलपी घेवचो.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

-\frac{y}{62}+\frac{22}{31}क 34 फावटी गुणचें.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

-y कडेन -\frac{17y}{31} ची बेरीज करची.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{748}{31} वजा करचें.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

-\frac{48}{31} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{23}{3}$$

x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31} त y खातीर -\frac{23}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{23}{3} क -\frac{1}{62} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{23}{186} क \frac{22}{31} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{5}{6}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

62x आनी 34x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 34 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 62 न गुणचें.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

सोंपें करचें.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2108x+34y=1496 तल्यान 2108x-62y=2232 वजा करचो.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

-2108x कडेन 2108x ची बेरीज करची. अटी 2108x आनी -2108x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$34y+62y=1496-2232$$

62y कडेन 34y ची बेरीज करची.

$$96y=1496-2232$$

-2232 कडेन 1496 ची बेरीज करची.

$$96y=-736$$

दोनुय कुशींक 96 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{23}{3}$$

34x-y=36 त y खातीर -\frac{23}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{23}{3} वजा करचें.

$$34x=\frac{85}{3}$$

दोनुय कुशींक 34 न भाग लावचो.

$$x=\frac{5}{6}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$