सोडोवचें {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6.5x+y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$6.5x=-y+9$$

6.5 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

-y+9क \frac{2}{13} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

1.6x+0.2y=13 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y+18}{13} बदलपी घेवचो.

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

\frac{-2y+18}{13}क 1.6 फावटी गुणचें.

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

\frac{y}{5} कडेन -\frac{16y}{65} ची बेरीज करची.

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{144}{65} वजा करचें.

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

-\frac{3}{65} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{701}{3}$$

x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13} त y खातीर -\frac{701}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{701}{3} क -\frac{2}{13} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{1402}{39} क \frac{18}{13} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{112}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{13x}{2} आनी \frac{8x}{5} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1.6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6.5 न गुणचें.

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

सोंपें करचें.

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10.4x+1.6y=14.4 तल्यान 10.4x+1.3y=84.5 वजा करचो.

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

-\frac{52x}{5} कडेन \frac{52x}{5} ची बेरीज करची. अटी \frac{52x}{5} आनी -\frac{52x}{5} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

-\frac{13y}{10} कडेन \frac{8y}{5} ची बेरीज करची.

$$0.3y=14.4-84.5$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -84.5 क 14.4 ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$0.3y=-70.1$$

0.3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{701}{3}$$

1.6x+0.2y=13 त y खातीर -\frac{701}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{701}{3} क 0.2 फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{701}{15} ची बेरीज करची.

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

1.6 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{112}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$