सोडोवचें {l}{6x+7y=-18}{3x-4y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 7 y = - 18 } \\ { 3 x - 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-3$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+7y=-18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$6x=-7y-18$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-7y-18\right)$$

-7y-18क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{6}y-3$$

3x-4y=-9 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{7y}{6}-3 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{7}{6}y-3\right)-4y=-9$$

-\frac{7y}{6}-3क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{7}{2}y-9-4y=-9$$

-4y कडेन -\frac{7y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{15}{2}y-9=-9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 ची बेरीज करची.

$$-\frac{15}{2}y=0$$

-\frac{15}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=0$$

x=-\frac{7}{6}y-3 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-7\times 3}&-\frac{7}{6\left(-4\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-4\right)-7\times 3}&\frac{6}{6\left(-4\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}&\frac{7}{45}\\\frac{1}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}\left(-18\right)+\frac{7}{45}\left(-9\right)\\\frac{1}{15}\left(-18\right)-\frac{2}{15}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-3,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

6x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$3\times 6x+3\times 7y=3\left(-18\right),6\times 3x+6\left(-4\right)y=6\left(-9\right)$$

सोंपें करचें.

$$18x+21y=-54,18x-24y=-54$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 18x+21y=-54 तल्यान 18x-24y=-54 वजा करचो.

$$18x-18x+21y+24y=-54+54$$

-18x कडेन 18x ची बेरीज करची. अटी 18x आनी -18x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$21y+24y=-54+54$$

24y कडेन 21y ची बेरीज करची.

$$45y=-54+54$$

54 कडेन -54 ची बेरीज करची.

$$45y=0$$

दोनुय कुशींक 45 न भाग लावचो.

$$y=0$$

3x-4y=-9 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x=-9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=0$$