सोडोवचें {l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=600$$

$$y=400$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+5y=5600$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$6x=-5y+5600$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

-5y+5600क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

55x+46y=51400 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} बदलपी घेवचो.

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

-\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}क 55 फावटी गुणचें.

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

46y कडेन -\frac{275y}{6} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{154000}{3} वजा करचें.

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

दोनूय कुशीनीं 6 न गुणचें.

$$y=400$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} त y खातीर 400 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

400क -\frac{5}{6} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{1000}{3} क \frac{2800}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=600$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=600,y=400$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=600,y=400$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

6x आनी 55x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 55 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

सोंपें करचें.

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 330x+275y=308000 तल्यान 330x+276y=308400 वजा करचो.

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

-330x कडेन 330x ची बेरीज करची. अटी 330x आनी -330x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$275y-276y=308000-308400$$

-276y कडेन 275y ची बेरीज करची.

$$-y=308000-308400$$

-308400 कडेन 308000 ची बेरीज करची.

$$-y=-400$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=400$$

55x+46y=51400 त y खातीर 400 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$55x+46\times 400=51400$$

400क 46 फावटी गुणचें.

$$55x+18400=51400$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18400 वजा करचें.

$$55x=33000$$

दोनुय कुशींक 55 न भाग लावचो.

$$x=600$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=600,y=400$$