सोडोवचें {l}{6x+5y=4}{6x-7y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 4 } \\ { 6 x - 7 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-1$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+5y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$6x=-5y+4$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+4\right)$$

-5y+4क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}$$

6x-7y=-20 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{6}+\frac{2}{3} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}\right)-7y=-20$$

-\frac{5y}{6}+\frac{2}{3}क 6 फावटी गुणचें.

$$-5y+4-7y=-20$$

-7y कडेन -5y ची बेरीज करची.

$$-12y+4=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$-12y=-24$$

दोनुय कुशींक -12 न भाग लावचो.

$$y=2$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{6}\times 2+\frac{2}{3}$$

2क -\frac{5}{6} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{5}{3} क \frac{2}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6\left(-7\right)-5\times 6}&-\frac{5}{6\left(-7\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{6\left(-7\right)-5\times 6}&\frac{6}{6\left(-7\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{72}&\frac{5}{72}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{72}\times 4+\frac{5}{72}\left(-20\right)\\\frac{1}{12}\times 4-\frac{1}{12}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-1,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+5y=4 तल्यान 6x-7y=-20 वजा करचो.

$$6x-6x+5y+7y=4+20$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5y+7y=4+20$$

7y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$12y=4+20$$

20 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$12y=24$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$y=2$$

6x-7y=-20 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x-7\times 2=-20$$

2क -7 फावटी गुणचें.

$$6x-14=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14 ची बेरीज करची.

$$6x=-6$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=2$$