सोडोवचें {l}{6x+5y=27}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+5y=27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$6x=-5y+27$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

-5y+27क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

2x+y=13 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

-\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

y कडेन -\frac{5y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 वजा करचें.

$$-\frac{2}{3}y=4$$

-\frac{2}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-6$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2} त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

-6क -\frac{5}{6} फावटी गुणचें.

$$x=5+\frac{9}{2}$$

5 कडेन \frac{9}{2} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{19}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

6x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

सोंपें करचें.

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+10y=54 तल्यान 12x+6y=78 वजा करचो.

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10y-6y=54-78$$

-6y कडेन 10y ची बेरीज करची.

$$4y=54-78$$

-78 कडेन 54 ची बेरीज करची.

$$4y=-24$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=-6$$

2x+y=13 त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-6=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 ची बेरीज करची.

$$2x=19$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{19}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$