सोडोवचें {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+3y=25.95$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$6x=-3y+25.95$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

-3y+25.95क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

4x+6y=26.7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

-\frac{y}{2}+\frac{173}{40}क 4 फावटी गुणचें.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

6y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{173}{10} वजा करचें.

$$4y=\frac{47}{5}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=\frac{47}{20}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40} त y खातीर \frac{47}{20} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{47}{20} क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{47}{40} क \frac{173}{40} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{63}{20}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

6x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

सोंपें करचें.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 24x+12y=103.8 तल्यान 24x+36y=160.2 वजा करचो.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

-24x कडेन 24x ची बेरीज करची. अटी 24x आनी -24x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

-36y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -160.2 क 103.8 ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$-24y=-56.4$$

दोनुय कुशींक -24 न भाग लावचो.

$$y=\frac{47}{20}$$

4x+6y=26.7 त y खातीर \frac{47}{20} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

\frac{47}{20}क 6 फावटी गुणचें.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{141}{10} वजा करचें.

$$4x=\frac{63}{5}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{63}{20}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$