सोडोवचें {l}{50x+3y=1}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$50x+3y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$50x=-3y+1$$

दोनुय कुशींक 50 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

-3y+1क \frac{1}{50} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

2x-4y=5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+1}{50} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

\frac{-3y+1}{50}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

-4y कडेन -\frac{3y}{25} ची बेरीज करची.

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{25} वजा करचें.

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

-\frac{103}{25} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{124}{103}$$

x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50} त y खातीर -\frac{124}{103} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{124}{103} क -\frac{3}{50} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{186}{2575} क \frac{1}{50} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{19}{206}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

50x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 50 न गुणचें.

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

सोंपें करचें.

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 100x+6y=2 तल्यान 100x-200y=250 वजा करचो.

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

-100x कडेन 100x ची बेरीज करची. अटी 100x आनी -100x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y+200y=2-250$$

200y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$206y=2-250$$

-250 कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$206y=-248$$

दोनुय कुशींक 206 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{124}{103}$$

2x-4y=5 त y खातीर -\frac{124}{103} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

-\frac{124}{103}क -4 फावटी गुणचें.

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{496}{103} वजा करचें.

$$2x=\frac{19}{103}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{19}{206}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$