सोडोवचें {l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$5y+8x=-18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8x वजा करचें.

$$5y=-8x-18$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

-8x-18क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

5y+2x=58 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{-8x-18}{5} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

\frac{-8x-18}{5}क 5 फावटी गुणचें.

$$-8x-18+2x=58$$

2x कडेन -8x ची बेरीज करची.

$$-6x-18=58$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 ची बेरीज करची.

$$-6x=76$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{38}{3}$$

y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5} त x खातीर -\frac{38}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{38}{3} क -\frac{8}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{304}{15} क -\frac{18}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=\frac{50}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5y+8x=-18 तल्यान 5y+2x=58 वजा करचो.

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

-5y कडेन 5y ची बेरीज करची. अटी 5y आनी -5y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8x-2x=-18-58$$

-2x कडेन 8x ची बेरीज करची.

$$6x=-18-58$$

-58 कडेन -18 ची बेरीज करची.

$$6x=-76$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{38}{3}$$

5y+2x=58 त x खातीर -\frac{38}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

-\frac{38}{3}क 2 फावटी गुणचें.

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{76}{3} ची बेरीज करची.

$$5y=\frac{250}{3}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=\frac{50}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$