सोडोवचें {l}{5x-y=26}{y=3x-12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 26 } \\ { y = 3 x - 12 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=7$$

$$y=9$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$y-3x=-12$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-y=26,-3x+y=-12$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-y=26$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$5x=y+26$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+26\right)$$

y+26क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{26}{5}$$

-3x+y=-12 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{26+y}{5} बदलपी घेवचो.

$$-3\left(\frac{1}{5}y+\frac{26}{5}\right)+y=-12$$

\frac{26+y}{5}क -3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{78}{5}+y=-12$$

y कडेन -\frac{3y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{2}{5}y-\frac{78}{5}=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{78}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{2}{5}y=\frac{18}{5}$$

\frac{2}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=9$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{26}{5} त y खातीर 9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{5}\times 9+\frac{26}{5}$$

9क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{9+26}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{9}{5} क \frac{26}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=9$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$y-3x=-12$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-y=26,-3x+y=-12$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 26+\frac{1}{2}\left(-12\right)\\\frac{3}{2}\times 26+\frac{5}{2}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=7,y=9$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$y-3x=-12$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-y=26,-3x+y=-12$$

5x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-3\times 5x-3\left(-1\right)y=-3\times 26,5\left(-3\right)x+5y=5\left(-12\right)$$

सोंपें करचें.

$$-15x+3y=-78,-15x+5y=-60$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -15x+3y=-78 तल्यान -15x+5y=-60 वजा करचो.

$$-15x+15x+3y-5y=-78+60$$

15x कडेन -15x ची बेरीज करची. अटी -15x आनी 15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y-5y=-78+60$$

-5y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$-2y=-78+60$$

60 कडेन -78 ची बेरीज करची.

$$-2y=-18$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=9$$

-3x+y=-12 त y खातीर 9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x+9=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 वजा करचें.

$$-3x=-21$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=9$$