सोडोवचें {l}{5x-7y=-27}{2x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 27 } \\ { 2 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-7y=-27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y ची बेरीज करची.

$$5x=7y-27$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-27\right)$$

7y-27क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}$$

2x+3y=24 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{7y-27}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}\right)+3y=24$$

\frac{7y-27}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{14}{5}y-\frac{54}{5}+3y=24$$

3y कडेन \frac{14y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{29}{5}y-\frac{54}{5}=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{54}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{29}{5}y=\frac{174}{5}$$

\frac{29}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=6$$

x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5} त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{7}{5}\times 6-\frac{27}{5}$$

6क \frac{7}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{42-27}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{42}{5} क -\frac{27}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\left(-27\right)+\frac{7}{29}\times 24\\-\frac{2}{29}\left(-27\right)+\frac{5}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\left(-27\right),5\times 2x+5\times 3y=5\times 24$$

सोंपें करचें.

$$10x-14y=-54,10x+15y=120$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x-14y=-54 तल्यान 10x+15y=120 वजा करचो.

$$10x-10x-14y-15y=-54-120$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-14y-15y=-54-120$$

-15y कडेन -14y ची बेरीज करची.

$$-29y=-54-120$$

-120 कडेन -54 ची बेरीज करची.

$$-29y=-174$$

दोनुय कुशींक -29 न भाग लावचो.

$$y=6$$

2x+3y=24 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+3\times 6=24$$

6क 3 फावटी गुणचें.

$$2x+18=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 वजा करचें.

$$2x=6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=6$$