सोडोवचें {l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-3y=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$5x=3y+2$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

3y+2क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

6x+2y=-5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y+2}{5} बदलपी घेवचो.

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

\frac{3y+2}{5}क 6 फावटी गुणचें.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

2y कडेन \frac{18y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{12}{5} वजा करचें.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

\frac{28}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{37}{28}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} त y खातीर -\frac{37}{28} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{37}{28} क \frac{3}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{111}{140} क \frac{2}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{11}{28}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

5x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

सोंपें करचें.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 30x-18y=12 तल्यान 30x+10y=-25 वजा करचो.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

-30x कडेन 30x ची बेरीज करची. अटी 30x आनी -30x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-18y-10y=12+25$$

-10y कडेन -18y ची बेरीज करची.

$$-28y=12+25$$

25 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$-28y=37$$

दोनुय कुशींक -28 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{37}{28}$$

6x+2y=-5 त y खातीर -\frac{37}{28} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

-\frac{37}{28}क 2 फावटी गुणचें.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{37}{14} ची बेरीज करची.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{11}{28}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$