सोडोवचें {l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1200$$

$$y=1400$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-3y=1800$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$5x=3y+1800$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

1800+3yक \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

6x-4y=1600 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y}{5}+360 बदलपी घेवचो.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

\frac{3y}{5}+360क 6 फावटी गुणचें.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

-4y कडेन \frac{18y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2160 वजा करचें.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

-\frac{2}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1400$$

x=\frac{3}{5}y+360 त y खातीर 1400 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

1400क \frac{3}{5} फावटी गुणचें.

$$x=840+360$$

840 कडेन 360 ची बेरीज करची.

$$x=1200$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1200,y=1400$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1200,y=1400$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

5x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

सोंपें करचें.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 30x-18y=10800 तल्यान 30x-20y=8000 वजा करचो.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

-30x कडेन 30x ची बेरीज करची. अटी 30x आनी -30x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-18y+20y=10800-8000$$

20y कडेन -18y ची बेरीज करची.

$$2y=10800-8000$$

-8000 कडेन 10800 ची बेरीज करची.

$$2y=2800$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=1400$$

6x-4y=1600 त y खातीर 1400 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x-4\times 1400=1600$$

1400क -4 फावटी गुणचें.

$$6x-5600=1600$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5600 ची बेरीज करची.

$$6x=7200$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=1200$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1200,y=1400$$