सोडोवचें {l}{5x-2y=5}{10x-3y=35}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 5 } \\ { 10 x - 3 y = 35 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=11$$

$$y=25$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-2y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$5x=2y+5$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+5\right)$$

2y+5क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{5}y+1$$

10x-3y=35 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{2y}{5}+1 बदलपी घेवचो.

$$10\left(\frac{2}{5}y+1\right)-3y=35$$

\frac{2y}{5}+1क 10 फावटी गुणचें.

$$4y+10-3y=35$$

-3y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$y+10=35$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$y=25$$

x=\frac{2}{5}y+1 त y खातीर 25 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{5}\times 25+1$$

25क \frac{2}{5} फावटी गुणचें.

$$x=10+1$$

10 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$x=11$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=11,y=25$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&-\frac{-2}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\\-\frac{10}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 35\\-2\times 5+35\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=11,y=25$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

5x आनी 10x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$10\times 5x+10\left(-2\right)y=10\times 5,5\times 10x+5\left(-3\right)y=5\times 35$$

सोंपें करचें.

$$50x-20y=50,50x-15y=175$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 50x-20y=50 तल्यान 50x-15y=175 वजा करचो.

$$50x-50x-20y+15y=50-175$$

-50x कडेन 50x ची बेरीज करची. अटी 50x आनी -50x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-20y+15y=50-175$$

15y कडेन -20y ची बेरीज करची.

$$-5y=50-175$$

-175 कडेन 50 ची बेरीज करची.

$$-5y=-125$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=25$$

10x-3y=35 त y खातीर 25 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$10x-3\times 25=35$$

25क -3 फावटी गुणचें.

$$10x-75=35$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 75 ची बेरीज करची.

$$10x=110$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=11$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=11,y=25$$