सोडोवचें {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$5x-2y=16$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 2y जोडचे.

$$7x+2y=32$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-2y=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$5x=2y+16$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

16+2yक \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

7x+2y=32 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{16+2y}{5} बदलपी घेवचो.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

\frac{16+2y}{5}क 7 फावटी गुणचें.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

2y कडेन \frac{14y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{112}{5} वजा करचें.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

\frac{24}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=2$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

2क \frac{2}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{4}{5} क \frac{16}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$5x-2y=16$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 2y जोडचे.

$$7x+2y=32$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$5x-2y=16$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 2y जोडचे.

$$7x+2y=32$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

5x आनी 7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

सोंपें करचें.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 35x-14y=112 तल्यान 35x+10y=160 वजा करचो.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

-35x कडेन 35x ची बेरीज करची. अटी 35x आनी -35x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-14y-10y=112-160$$

-10y कडेन -14y ची बेरीज करची.

$$-24y=112-160$$

-160 कडेन 112 ची बेरीज करची.

$$-24y=-48$$

दोनुय कुशींक -24 न भाग लावचो.

$$y=2$$

7x+2y=32 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7x+2\times 2=32$$

2क 2 फावटी गुणचें.

$$7x+4=32$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$7x=28$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=2$$