सोडोवचें {l}{5x+y=19}{2x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 19 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=6$$

$$y=-11$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+y=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$5x=-y+19$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+19\right)$$

-y+19क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}$$

2x+y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+19}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}\right)+y=1$$

\frac{-y+19}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{38}{5}+y=1$$

y कडेन -\frac{2y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{38}{5} वजा करचें.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{33}{5}$$

\frac{3}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-11$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5} त y खातीर -11 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{19}{5}$$

-11क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{11+19}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{11}{5} क \frac{19}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=-11$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 19-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\times 19+\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=6,y=-11$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5x+y=19 तल्यान 2x+y=1 वजा करचो.

$$5x-2x+y-y=19-1$$

-y कडेन y ची बेरीज करची. अटी y आनी -y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5x-2x=19-1$$

-2x कडेन 5x ची बेरीज करची.

$$3x=19-1$$

-1 कडेन 19 ची बेरीज करची.

$$3x=18$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=6$$

2x+y=1 त x खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2\times 6+y=1$$

6क 2 फावटी गुणचें.

$$12+y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 वजा करचें.

$$y=-11$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=-11$$