सोडोवचें {l}{5x+y=-17}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 17 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-4$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+y=-17,2x+5y=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+y=-17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$5x=-y-17$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-17\right)$$

-y-17क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{17}{5}$$

2x+5y=7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y-17}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{17}{5}\right)+5y=7$$

\frac{-y-17}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{34}{5}+5y=7$$

5y कडेन -\frac{2y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{23}{5}y-\frac{34}{5}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{34}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{23}{5}y=\frac{69}{5}$$

\frac{23}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{17}{5} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{5}\times 3-\frac{17}{5}$$

3क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-3-17}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{5} क -\frac{17}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+y=-17,2x+5y=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-17\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-17\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-4,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+y=-17,2x+5y=7$$

5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$2\times 5x+2y=2\left(-17\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

सोंपें करचें.

$$10x+2y=-34,10x+25y=35$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+2y=-34 तल्यान 10x+25y=35 वजा करचो.

$$10x-10x+2y-25y=-34-35$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2y-25y=-34-35$$

-25y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$-23y=-34-35$$

-35 कडेन -34 ची बेरीज करची.

$$-23y=-69$$

दोनुय कुशींक -23 न भाग लावचो.

$$y=3$$

2x+5y=7 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+5\times 3=7$$

3क 5 फावटी गुणचें.

$$2x+15=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$2x=-8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=3$$