सोडोवचें {l}{5x+7y=9}{8x+6y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 9 } \\ { 8 x + 6 y = 29 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{149}{26} = 5\frac{19}{26} \approx 5.730769231$$

$$y = -\frac{73}{26} = -2\frac{21}{26} \approx -2.807692308$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+7y=9,8x+6y=29$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+7y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$5x=-7y+9$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+9\right)$$

-7y+9क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{9}{5}$$

8x+6y=29 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-7y+9}{5} बदलपी घेवचो.

$$8\left(-\frac{7}{5}y+\frac{9}{5}\right)+6y=29$$

\frac{-7y+9}{5}क 8 फावटी गुणचें.

$$-\frac{56}{5}y+\frac{72}{5}+6y=29$$

6y कडेन -\frac{56y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{72}{5}=29$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{72}{5} वजा करचें.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{73}{5}$$

-\frac{26}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{73}{26}$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{9}{5} त y खातीर -\frac{73}{26} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{7}{5}\left(-\frac{73}{26}\right)+\frac{9}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{73}{26} क -\frac{7}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{511}{130}+\frac{9}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{511}{130} क \frac{9}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{149}{26}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{149}{26},y=-\frac{73}{26}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+7y=9,8x+6y=29$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-7\times 8}&-\frac{7}{5\times 6-7\times 8}\\-\frac{8}{5\times 6-7\times 8}&\frac{5}{5\times 6-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&\frac{7}{26}\\\frac{4}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\times 9+\frac{7}{26}\times 29\\\frac{4}{13}\times 9-\frac{5}{26}\times 29\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{26}\\-\frac{73}{26}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{149}{26},y=-\frac{73}{26}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+7y=9,8x+6y=29$$

5x आनी 8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$8\times 5x+8\times 7y=8\times 9,5\times 8x+5\times 6y=5\times 29$$

सोंपें करचें.

$$40x+56y=72,40x+30y=145$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 40x+56y=72 तल्यान 40x+30y=145 वजा करचो.

$$40x-40x+56y-30y=72-145$$

-40x कडेन 40x ची बेरीज करची. अटी 40x आनी -40x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$56y-30y=72-145$$

-30y कडेन 56y ची बेरीज करची.

$$26y=72-145$$

-145 कडेन 72 ची बेरीज करची.

$$26y=-73$$

दोनुय कुशींक 26 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{73}{26}$$

8x+6y=29 त y खातीर -\frac{73}{26} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$8x+6\left(-\frac{73}{26}\right)=29$$

-\frac{73}{26}क 6 फावटी गुणचें.

$$8x-\frac{219}{13}=29$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{219}{13} ची बेरीज करची.

$$8x=\frac{596}{13}$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{149}{26}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{149}{26},y=-\frac{73}{26}$$