सोडोवचें {l}{5x+6y=121}{6x+5y=121}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 121 } \\ { 6 x + 5 y = 121 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=11$$

$$y=11$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+6y=121,6x+5y=121$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+6y=121$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$5x=-6y+121$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+121\right)$$

-6y+121क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{121}{5}$$

6x+5y=121 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-6y+121}{5} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{6}{5}y+\frac{121}{5}\right)+5y=121$$

\frac{-6y+121}{5}क 6 फावटी गुणचें.

$$-\frac{36}{5}y+\frac{726}{5}+5y=121$$

5y कडेन -\frac{36y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{726}{5}=121$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{726}{5} वजा करचें.

$$-\frac{11}{5}y=-\frac{121}{5}$$

-\frac{11}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=11$$

x=-\frac{6}{5}y+\frac{121}{5} त y खातीर 11 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{6}{5}\times 11+\frac{121}{5}$$

11क -\frac{6}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-66+121}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{66}{5} क \frac{121}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=11$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=11,y=11$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+6y=121,6x+5y=121$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-6\times 6}&-\frac{6}{5\times 5-6\times 6}\\-\frac{6}{5\times 5-6\times 6}&\frac{5}{5\times 5-6\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{6}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 121+\frac{6}{11}\times 121\\\frac{6}{11}\times 121-\frac{5}{11}\times 121\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=11,y=11$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+6y=121,6x+5y=121$$

5x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$6\times 5x+6\times 6y=6\times 121,5\times 6x+5\times 5y=5\times 121$$

सोंपें करचें.

$$30x+36y=726,30x+25y=605$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 30x+36y=726 तल्यान 30x+25y=605 वजा करचो.

$$30x-30x+36y-25y=726-605$$

-30x कडेन 30x ची बेरीज करची. अटी 30x आनी -30x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$36y-25y=726-605$$

-25y कडेन 36y ची बेरीज करची.

$$11y=726-605$$

-605 कडेन 726 ची बेरीज करची.

$$11y=121$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$y=11$$

6x+5y=121 त y खातीर 11 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+5\times 11=121$$

11क 5 फावटी गुणचें.

$$6x+55=121$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 55 वजा करचें.

$$6x=66$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=11$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=11,y=11$$