सोडोवचें {l}{5x+6y=-3}{3x+7y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = - 3 } \\ { 3 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-3$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+6y=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$5x=-6y-3$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y-3\right)$$

-6y-3क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

3x+7y=5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-6y-3}{5} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)+7y=5$$

\frac{-6y-3}{5}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{18}{5}y-\frac{9}{5}+7y=5$$

7y कडेन -\frac{18y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{17}{5}y-\frac{9}{5}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

\frac{17}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=2$$

x=-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

2क -\frac{6}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-12-3}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{12}{5} क -\frac{3}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-6\times 3}&-\frac{6}{5\times 7-6\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-6\times 3}&\frac{5}{5\times 7-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{17}&-\frac{6}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{17}\left(-3\right)-\frac{6}{17}\times 5\\-\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{5}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-3,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

5x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\left(-3\right),5\times 3x+5\times 7y=5\times 5$$

सोंपें करचें.

$$15x+18y=-9,15x+35y=25$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x+18y=-9 तल्यान 15x+35y=25 वजा करचो.

$$15x-15x+18y-35y=-9-25$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$18y-35y=-9-25$$

-35y कडेन 18y ची बेरीज करची.

$$-17y=-9-25$$

-25 कडेन -9 ची बेरीज करची.

$$-17y=-34$$

दोनुय कुशींक -17 न भाग लावचो.

$$y=2$$

3x+7y=5 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+7\times 2=5$$

2क 7 फावटी गुणचें.

$$3x+14=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14 वजा करचें.

$$3x=-9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=2$$