सोडोवचें {l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+5y=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$5x=-5y+14$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

-5y+14क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

2x+4y=10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+\frac{14}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

-y+\frac{14}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

4y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{28}{5} वजा करचें.

$$2y=\frac{22}{5}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=\frac{11}{5}$$

x=-y+\frac{14}{5} त y खातीर \frac{11}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

\frac{11}{5}क -1 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{11}{5} क \frac{14}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{3}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

सोंपें करचें.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+10y=28 तल्यान 10x+20y=50 वजा करचो.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10y-20y=28-50$$

-20y कडेन 10y ची बेरीज करची.

$$-10y=28-50$$

-50 कडेन 28 ची बेरीज करची.

$$-10y=-22$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$y=\frac{11}{5}$$

2x+4y=10 त y खातीर \frac{11}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

\frac{11}{5}क 4 फावटी गुणचें.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{44}{5} वजा करचें.

$$2x=\frac{6}{5}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{3}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$