सोडोवचें {l}{5x+4y=1}{5x-3y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - 3 y = 27 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{111}{35} = 3\frac{6}{35} \approx 3.171428571$$

$$y = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3.714285714$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+4y=1,5x-3y=27$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+4y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$5x=-4y+1$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+1\right)$$

-4y+1क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5}$$

5x-3y=27 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-4y+1}{5} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5}\right)-3y=27$$

\frac{-4y+1}{5}क 5 फावटी गुणचें.

$$-4y+1-3y=27$$

-3y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-7y+1=27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$-7y=26$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{26}{7}$$

x=-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5} त y खातीर -\frac{26}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{26}{7}\right)+\frac{1}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{26}{7} क -\frac{4}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{104}{35}+\frac{1}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{104}{35} क \frac{1}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{111}{35}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{111}{35},y=-\frac{26}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+4y=1,5x-3y=27$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\5&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\27\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\27\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-4\times 5}&-\frac{4}{5\left(-3\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-3\right)-4\times 5}&\frac{5}{5\left(-3\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\27\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{35}&\frac{4}{35}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\27\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{35}+\frac{4}{35}\times 27\\\frac{1}{7}-\frac{1}{7}\times 27\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{111}{35}\\-\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{111}{35},y=-\frac{26}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+4y=1,5x-3y=27$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5x+4y=1 तल्यान 5x-3y=27 वजा करचो.

$$5x-5x+4y+3y=1-27$$

-5x कडेन 5x ची बेरीज करची. अटी 5x आनी -5x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y+3y=1-27$$

3y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$7y=1-27$$

-27 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$7y=-26$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{26}{7}$$

5x-3y=27 त y खातीर -\frac{26}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-3\left(-\frac{26}{7}\right)=27$$

-\frac{26}{7}क -3 फावटी गुणचें.

$$5x+\frac{78}{7}=27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{78}{7} वजा करचें.

$$5x=\frac{111}{7}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{111}{35}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{111}{35},y=-\frac{26}{7}$$