सोडोवचें {l}{5x+4y=-17}{2x+3y=39}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 17 } \\ { 2 x + 3 y = 39 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{207}{7} = -29\frac{4}{7} \approx -29.571428571$$

$$y = \frac{229}{7} = 32\frac{5}{7} \approx 32.714285714$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+4y=-17,2x+3y=39$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+4y=-17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$5x=-4y-17$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-17\right)$$

-4y-17क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{17}{5}$$

2x+3y=39 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-4y-17}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{4}{5}y-\frac{17}{5}\right)+3y=39$$

\frac{-4y-17}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{34}{5}+3y=39$$

3y कडेन -\frac{8y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{5}y-\frac{34}{5}=39$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{34}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{5}y=\frac{229}{5}$$

\frac{7}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{229}{7}$$

x=-\frac{4}{5}y-\frac{17}{5} त y खातीर \frac{229}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{5}\times \frac{229}{7}-\frac{17}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{229}{7} क -\frac{4}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{916}{35}-\frac{17}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{916}{35} क -\frac{17}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{207}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{207}{7},y=\frac{229}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+4y=-17,2x+3y=39$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\39\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\39\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\39\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\39\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-17\right)-\frac{4}{7}\times 39\\-\frac{2}{7}\left(-17\right)+\frac{5}{7}\times 39\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{207}{7}\\\frac{229}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{207}{7},y=\frac{229}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+4y=-17,2x+3y=39$$

5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\left(-17\right),5\times 2x+5\times 3y=5\times 39$$

सोंपें करचें.

$$10x+8y=-34,10x+15y=195$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+8y=-34 तल्यान 10x+15y=195 वजा करचो.

$$10x-10x+8y-15y=-34-195$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8y-15y=-34-195$$

-15y कडेन 8y ची बेरीज करची.

$$-7y=-34-195$$

-195 कडेन -34 ची बेरीज करची.

$$-7y=-229$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{229}{7}$$

2x+3y=39 त y खातीर \frac{229}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+3\times \frac{229}{7}=39$$

\frac{229}{7}क 3 फावटी गुणचें.

$$2x+\frac{687}{7}=39$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{687}{7} वजा करचें.

$$2x=-\frac{414}{7}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{207}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{207}{7},y=\frac{229}{7}$$