सोडोवचें {l}{5x+3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=11$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+3y-4=34$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$5x+3y=38$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$5x=-3y+38$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+38\right)$$

-3y+38क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

-3x+5y-18=34 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+38}{5} बदलपी घेवचो.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

\frac{-3y+38}{5}क -3 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

5y कडेन \frac{9y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{34}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

-18 कडेन -\frac{114}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{34}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{204}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{34}{5}y=\frac{374}{5}$$

\frac{34}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=11$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5} त y खातीर 11 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{5}\times 11+\frac{38}{5}$$

11क -\frac{3}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-33+38}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{33}{5} क \frac{38}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=11$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 5-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 5-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}&-\frac{3}{34}\\\frac{3}{34}&\frac{5}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}\times 38-\frac{3}{34}\times 52\\\frac{3}{34}\times 38+\frac{5}{34}\times 52\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=11$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

5x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-3\times 5x-3\times 3y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

सोंपें करचें.

$$-15x-9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -15x-9y+12=-102 तल्यान -15x+25y-90=170 वजा करचो.

$$-15x+15x-9y-25y+12+90=-102-170$$

15x कडेन -15x ची बेरीज करची. अटी -15x आनी 15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9y-25y+12+90=-102-170$$

-25y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$-34y+12+90=-102-170$$

90 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$-34y+102=-102-170$$

-170 कडेन -102 ची बेरीज करची.

$$-34y+102=-272$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 102 वजा करचें.

$$-34y=-374$$

दोनुय कुशींक -34 न भाग लावचो.

$$y=11$$

-3x+5y-18=34 त y खातीर 11 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x+5\times 11-18=34$$

11क 5 फावटी गुणचें.

$$-3x+55-18=34$$

-18 कडेन 55 ची बेरीज करची.

$$-3x+37=34$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 37 वजा करचें.

$$-3x=-3$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=11$$