सोडोवचें {l}{5x+3y=6}{2x+7y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+3y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$5x=-3y+6$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

-3y+6क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

2x+7y=9 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+6}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

\frac{-3y+6}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

7y कडेन -\frac{6y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{12}{5} वजा करचें.

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

\frac{29}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{33}{29}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5} त y खातीर \frac{33}{29} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{33}{29} क -\frac{3}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{99}{145} क \frac{6}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{15}{29}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

सोंपें करचें.

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+6y=12 तल्यान 10x+35y=45 वजा करचो.

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y-35y=12-45$$

-35y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$-29y=12-45$$

-45 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$-29y=-33$$

दोनुय कुशींक -29 न भाग लावचो.

$$y=\frac{33}{29}$$

2x+7y=9 त y खातीर \frac{33}{29} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

\frac{33}{29}क 7 फावटी गुणचें.

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{231}{29} वजा करचें.

$$2x=\frac{30}{29}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{15}{29}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$