सोडोवचें {l}{5x+3y=-22}{-3x-3y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 22 } \\ { - 3 x - 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-2$$

$$y=-4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+3y=-22,-3x-3y=18$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+3y=-22$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$5x=-3y-22$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-22\right)$$

-3y-22क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{22}{5}$$

-3x-3y=18 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y-22}{5} बदलपी घेवचो.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y-\frac{22}{5}\right)-3y=18$$

\frac{-3y-22}{5}क -3 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{5}y+\frac{66}{5}-3y=18$$

-3y कडेन \frac{9y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{66}{5}=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{66}{5} वजा करचें.

$$-\frac{6}{5}y=\frac{24}{5}$$

-\frac{6}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-4$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{22}{5} त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-4\right)-\frac{22}{5}$$

-4क -\frac{3}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{12-22}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{12}{5} क -\frac{22}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-2,y=-4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+3y=-22,-3x-3y=18$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-22\right)+\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{1}{2}\left(-22\right)-\frac{5}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-2,y=-4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+3y=-22,-3x-3y=18$$

5x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\left(-22\right),5\left(-3\right)x+5\left(-3\right)y=5\times 18$$

सोंपें करचें.

$$-15x-9y=66,-15x-15y=90$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -15x-9y=66 तल्यान -15x-15y=90 वजा करचो.

$$-15x+15x-9y+15y=66-90$$

15x कडेन -15x ची बेरीज करची. अटी -15x आनी 15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9y+15y=66-90$$

15y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$6y=66-90$$

-90 कडेन 66 ची बेरीज करची.

$$6y=-24$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$y=-4$$

-3x-3y=18 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x-3\left(-4\right)=18$$

-4क -3 फावटी गुणचें.

$$-3x+12=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 वजा करचें.

$$-3x=6$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-2,y=-4$$