सोडोवचें {l}{5k+b=3}{2k+b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 k + b = 3 } \\ { 2 k + b = 7 } \end{array} \right.$$

k, b खातीर सोडोवचें

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$b = \frac{29}{3} = 9\frac{2}{3} \approx 9.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5k+b=3,2k+b=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक k वेगळावन k खातीर तें सोडोवचें.

$$5k+b=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$5k=-b+3$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$k=\frac{1}{5}\left(-b+3\right)$$

-b+3क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$k=-\frac{1}{5}b+\frac{3}{5}$$

2k+b=7 ह्या दुस-या समिकरणांत k खातीर \frac{-b+3}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{1}{5}b+\frac{3}{5}\right)+b=7$$

\frac{-b+3}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{2}{5}b+\frac{6}{5}+b=7$$

b कडेन -\frac{2b}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{3}{5}b+\frac{6}{5}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{6}{5} वजा करचें.

$$\frac{3}{5}b=\frac{29}{5}$$

\frac{3}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=\frac{29}{3}$$

k=-\frac{1}{5}b+\frac{3}{5} त b खातीर \frac{29}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी k खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$k=-\frac{1}{5}\times \frac{29}{3}+\frac{3}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{29}{3} क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$k=-\frac{29}{15}+\frac{3}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{29}{15} क \frac{3}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$k=-\frac{4}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$k=-\frac{4}{3},b=\frac{29}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5k+b=3,2k+b=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 7\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{5}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\\frac{29}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां k आनी b काडचीं.

$$k=-\frac{4}{3},b=\frac{29}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5k+b=3,2k+b=7$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5k+b=3 तल्यान 2k+b=7 वजा करचो.

$$5k-2k+b-b=3-7$$

-b कडेन b ची बेरीज करची. अटी b आनी -b रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5k-2k=3-7$$

-2k कडेन 5k ची बेरीज करची.

$$3k=3-7$$

-7 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$3k=-4$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$k=-\frac{4}{3}$$

2k+b=7 त k खातीर -\frac{4}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी b खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2\left(-\frac{4}{3}\right)+b=7$$

-\frac{4}{3}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{8}{3}+b=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{8}{3} ची बेरीज करची.

$$b=\frac{29}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$k=-\frac{4}{3},b=\frac{29}{3}$$