सोडोवचें {l}{5b+c=8}{4b+4c=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

b, c खातीर सोडोवचें

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक b वेगळावन b खातीर तें सोडोवचें.

$$5b+c=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान c वजा करचें.

$$5b=-c+8$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

-c+8क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

4b+4c=8 ह्या दुस-या समिकरणांत b खातीर \frac{-c+8}{5} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

\frac{-c+8}{5}क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

4c कडेन -\frac{4c}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{32}{5} वजा करचें.

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

\frac{16}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$c=\frac{1}{2}$$

b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5} त c खातीर \frac{1}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी b खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{1}{2} क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{1}{10} क \frac{8}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$b=\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां b आनी c काडचीं.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

5b आनी 4b बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

सोंपें करचें.

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 20b+4c=32 तल्यान 20b+20c=40 वजा करचो.

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

-20b कडेन 20b ची बेरीज करची. अटी 20b आनी -20b रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4c-20c=32-40$$

-20c कडेन 4c ची बेरीज करची.

$$-16c=32-40$$

-40 कडेन 32 ची बेरीज करची.

$$-16c=-8$$

दोनुय कुशींक -16 न भाग लावचो.

$$c=\frac{1}{2}$$

4b+4c=8 त c खातीर \frac{1}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी b खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

\frac{1}{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$4b+2=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$4b=6$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$b=\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$