सोडोवचें {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-2$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+2 न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$5x+10=4y$$

दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$5x+10-4y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$5x-4y=-10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. y-4 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3y-12=6x$$

दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$3y-12-6x=0$$

दोनूय वटांनी 12 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3y-6x=12$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-4y=-10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$5x=4y-10$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

4y-10क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

-6x+3y=12 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{4y}{5}-2 बदलपी घेवचो.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

\frac{4y}{5}-2क -6 फावटी गुणचें.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

3y कडेन -\frac{24y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 वजा करचें.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

-\frac{9}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=0$$

x=\frac{4}{5}y-2 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-2,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+2 न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$5x+10=4y$$

दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$5x+10-4y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$5x-4y=-10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. y-4 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3y-12=6x$$

दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$3y-12-6x=0$$

दोनूय वटांनी 12 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3y-6x=12$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-2,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+2 न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$5x+10=4y$$

दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$5x+10-4y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$5x-4y=-10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. y-4 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3y-12=6x$$

दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$3y-12-6x=0$$

दोनूय वटांनी 12 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3y-6x=12$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

5x आनी -6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

सोंपें करचें.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -30x+24y=60 तल्यान -30x+15y=60 वजा करचो.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

30x कडेन -30x ची बेरीज करची. अटी -30x आनी 30x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$24y-15y=60-60$$

-15y कडेन 24y ची बेरीज करची.

$$9y=60-60$$

-60 कडेन 60 ची बेरीज करची.

$$9y=0$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$y=0$$

-6x+3y=12 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-6x=12$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$x=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-2,y=0$$