सोडोवचें {l}{41x+53y=135}{53x+41y=147}

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$41x+53y=135$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 53y वजा करचें.

$$41x=-53y+135$$

दोनुय कुशींक 41 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

-53y+135क \frac{1}{41} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

53x+41y=147 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-53y+135}{41} बदलपी घेवचो.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

\frac{-53y+135}{41}क 53 फावटी गुणचें.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

41y कडेन -\frac{2809y}{41} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7155}{41} वजा करचें.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

-\frac{1128}{41} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{53}{41} क \frac{135}{41} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

41x आनी 53x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 53 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 41 न गुणचें.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

सोंपें करचें.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2173x+2809y=7155 तल्यान 2173x+1681y=6027 वजा करचो.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

-2173x कडेन 2173x ची बेरीज करची. अटी 2173x आनी -2173x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

-1681y कडेन 2809y ची बेरीज करची.

$$1128y=7155-6027$$

-6027 कडेन 7155 ची बेरीज करची.

$$1128y=1128$$

दोनुय कुशींक 1128 न भाग लावचो.

$$y=1$$

53x+41y=147 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$53x+41=147$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 41 वजा करचें.

$$53x=106$$

दोनुय कुशींक 53 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=1$$