सोडोवचें {l}{40x+30y=500}{60x+15y=60}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 60 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4} = -4.75$$

$$y=23$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$40x+30y=500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 30y वजा करचें.

$$40x=-30y+500$$

दोनुय कुशींक 40 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

-30y+500क \frac{1}{40} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

60x+15y=60 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} बदलपी घेवचो.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=60$$

-\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}क 60 फावटी गुणचें.

$$-45y+750+15y=60$$

15y कडेन -45y ची बेरीज करची.

$$-30y+750=60$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 750 वजा करचें.

$$-30y=-690$$

दोनुय कुशींक -30 न भाग लावचो.

$$y=23$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2} त y खातीर 23 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{4}\times 23+\frac{25}{2}$$

23क -\frac{3}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{69}{4}+\frac{25}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{69}{4} क \frac{25}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{19}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 60\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 60\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{4}\\23\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

40x आनी 60x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 60 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 40 न गुणचें.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 60$$

सोंपें करचें.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=2400$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2400x+1800y=30000 तल्यान 2400x+600y=2400 वजा करचो.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-2400$$

-2400x कडेन 2400x ची बेरीज करची. अटी 2400x आनी -2400x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$1800y-600y=30000-2400$$

-600y कडेन 1800y ची बेरीज करची.

$$1200y=30000-2400$$

-2400 कडेन 30000 ची बेरीज करची.

$$1200y=27600$$

दोनुय कुशींक 1200 न भाग लावचो.

$$y=23$$

60x+15y=60 त y खातीर 23 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$60x+15\times 23=60$$

23क 15 फावटी गुणचें.

$$60x+345=60$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 345 वजा करचें.

$$60x=-285$$

दोनुय कुशींक 60 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{19}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$