सोडोवचें {l}{4x-3y-10=0}{3x+4y+5=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 3 x + 4 y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x-3y-10=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 ची बेरीज करची.

$$4x-3y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$4x=3y+10$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+10\right)$$

3y+10क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

3x+4y+5=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y+5=0$$

\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+4y+5=0$$

4y कडेन \frac{9y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{2}+5=0$$

5 कडेन \frac{15}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{25}{4}y+\frac{25}{2}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{25}{2} वजा करचें.

$$\frac{25}{4}y=-\frac{25}{2}$$

\frac{25}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-2$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

-2क \frac{3}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{2} क \frac{5}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10+\frac{3}{25}\left(-5\right)\\-\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

4x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 4y+4\times 5=0$$

सोंपें करचें.

$$12x-9y-30=0,12x+16y+20=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x-9y-30=0 तल्यान 12x+16y+20=0 वजा करचो.

$$12x-12x-9y-16y-30-20=0$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9y-16y-30-20=0$$

-16y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$-25y-30-20=0$$

-20 कडेन -30 ची बेरीज करची.

$$-25y-50=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 50 ची बेरीज करची.

$$-25y=50$$

दोनुय कुशींक -25 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

3x+4y+5=0 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+4\left(-2\right)+5=0$$

-2क 4 फावटी गुणचें.

$$3x-8+5=0$$

5 कडेन -8 ची बेरीज करची.

$$3x-3=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$3x=3$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-2$$