सोडोवचें {l}{4x-3y=5}{8x+6y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { 8 x + 6 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x-3y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$4x=3y+5$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

3y+5क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

8x+6y=10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y+5}{4} बदलपी घेवचो.

$$8\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+6y=10$$

\frac{3y+5}{4}क 8 फावटी गुणचें.

$$6y+10+6y=10$$

6y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$12y+10=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$12y=0$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$y=0$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

4x आनी 8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$8\times 4x+8\left(-3\right)y=8\times 5,4\times 8x+4\times 6y=4\times 10$$

सोंपें करचें.

$$32x-24y=40,32x+24y=40$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 32x-24y=40 तल्यान 32x+24y=40 वजा करचो.

$$32x-32x-24y-24y=40-40$$

-32x कडेन 32x ची बेरीज करची. अटी 32x आनी -32x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-24y-24y=40-40$$

-24y कडेन -24y ची बेरीज करची.

$$-48y=40-40$$

-40 कडेन 40 ची बेरीज करची.

$$-48y=0$$

दोनुय कुशींक -48 न भाग लावचो.

$$y=0$$

8x+6y=10 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$8x=10$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{5}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$