सोडोवचें {l}{4x+y=8}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+y=8,x-y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$4x=-y+8$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

-y+8क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

x-y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{4}+2 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

-y कडेन -\frac{y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$-\frac{5}{4}y=0$$

-\frac{5}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=0$$

x=-\frac{1}{4}y+2 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+y=8,x-y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+y=8,x-y=2$$

4x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

सोंपें करचें.

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4x+y=8 तल्यान 4x-4y=8 वजा करचो.

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

-4x कडेन 4x ची बेरीज करची. अटी 4x आनी -4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y+4y=8-8$$

4y कडेन y ची बेरीज करची.

$$5y=8-8$$

-8 कडेन 8 ची बेरीज करची.

$$5y=0$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=0$$

x-y=2 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=0$$