सोडोवचें {l}{4x+y=4}{-3x-6y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 4 } \\ { - 3 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=-4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$4x=-y+4$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+4\right)$$

-y+4क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{4}y+1$$

-3x-6y=18 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{4}+1 बदलपी घेवचो.

$$-3\left(-\frac{1}{4}y+1\right)-6y=18$$

-\frac{y}{4}+1क -3 फावटी गुणचें.

$$\frac{3}{4}y-3-6y=18$$

-6y कडेन \frac{3y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{21}{4}y-3=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$-\frac{21}{4}y=21$$

-\frac{21}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-4$$

x=-\frac{1}{4}y+1 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+1$$

-4क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=1+1$$

1 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{21}\\-\frac{1}{7}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{21}\times 18\\-\frac{1}{7}\times 4-\frac{4}{21}\times 18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=-4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

4x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$-3\times 4x-3y=-3\times 4,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 18$$

सोंपें करचें.

$$-12x-3y=-12,-12x-24y=72$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -12x-3y=-12 तल्यान -12x-24y=72 वजा करचो.

$$-12x+12x-3y+24y=-12-72$$

12x कडेन -12x ची बेरीज करची. अटी -12x आनी 12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-3y+24y=-12-72$$

24y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$21y=-12-72$$

-72 कडेन -12 ची बेरीज करची.

$$21y=-84$$

दोनुय कुशींक 21 न भाग लावचो.

$$y=-4$$

-3x-6y=18 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x-6\left(-4\right)=18$$

-4क -6 फावटी गुणचें.

$$-3x+24=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 24 वजा करचें.

$$-3x=-6$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-4$$