सोडोवचें {l}{4x+y=2}{x-4y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 2 } \\ { x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{15}{17}\approx 0.882352941$$

$$y = -\frac{26}{17} = -1\frac{9}{17} \approx -1.529411765$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+y=2,x-4y=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+y=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$4x=-y+2$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+2\right)$$

-y+2क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$$

x-4y=7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{4}+\frac{1}{2} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}-4y=7$$

-4y कडेन -\frac{y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{17}{4}y+\frac{1}{2}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2} वजा करचें.

$$-\frac{17}{4}y=\frac{13}{2}$$

-\frac{17}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{26}{17}$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2} त y खातीर -\frac{26}{17} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{26}{17}\right)+\frac{1}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{26}{17} क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{13}{34}+\frac{1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{13}{34} क \frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{15}{17}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{15}{17},y=-\frac{26}{17}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+y=2,x-4y=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-4\right)-1}&\frac{4}{4\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 2+\frac{1}{17}\times 7\\\frac{1}{17}\times 2-\frac{4}{17}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{17}\\-\frac{26}{17}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{15}{17},y=-\frac{26}{17}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+y=2,x-4y=7$$

4x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$4x+y=2,4x+4\left(-4\right)y=4\times 7$$

सोंपें करचें.

$$4x+y=2,4x-16y=28$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4x+y=2 तल्यान 4x-16y=28 वजा करचो.

$$4x-4x+y+16y=2-28$$

-4x कडेन 4x ची बेरीज करची. अटी 4x आनी -4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y+16y=2-28$$

16y कडेन y ची बेरीज करची.

$$17y=2-28$$

-28 कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$17y=-26$$

दोनुय कुशींक 17 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{26}{17}$$

x-4y=7 त y खातीर -\frac{26}{17} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-4\left(-\frac{26}{17}\right)=7$$

-\frac{26}{17}क -4 फावटी गुणचें.

$$x+\frac{104}{17}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{104}{17} वजा करचें.

$$x=\frac{15}{17}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{15}{17},y=-\frac{26}{17}$$