सोडोवचें {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=45$$

$$y=-165$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+y=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$4x=-y+15$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

-y+15क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

19x+5y=30 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+15}{4} बदलपी घेवचो.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

\frac{-y+15}{4}क 19 फावटी गुणचें.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

5y कडेन -\frac{19y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{285}{4} वजा करचें.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

दोनूय कुशीनीं 4 न गुणचें.

$$y=-165$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} त y खातीर -165 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-165क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{165}{4} क \frac{15}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=45$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=45,y=-165$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=45,y=-165$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x आनी 19x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 19 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

सोंपें करचें.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 76x+19y=285 तल्यान 76x+20y=120 वजा करचो.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

-76x कडेन 76x ची बेरीज करची. अटी 76x आनी -76x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$19y-20y=285-120$$

-20y कडेन 19y ची बेरीज करची.

$$-y=285-120$$

-120 कडेन 285 ची बेरीज करची.

$$-y=165$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=-165$$

19x+5y=30 त y खातीर -165 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

-165क 5 फावटी गुणचें.

$$19x-825=30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 825 ची बेरीज करची.

$$19x=855$$

दोनुय कुशींक 19 न भाग लावचो.

$$x=45$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=45,y=-165$$