सोडोवचें {l}{4x+5y=11}{y=3x-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 11 } \\ { y = 3 x - 18 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{101}{19} = 5\frac{6}{19} \approx 5.315789474$$

$$y = -\frac{39}{19} = -2\frac{1}{19} \approx -2.052631579$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$y-3x=-18$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+5y=11,-3x+y=-18$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+5y=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$4x=-5y+11$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+11\right)$$

-5y+11क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{11}{4}$$

-3x+y=-18 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+11}{4} बदलपी घेवचो.

$$-3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{11}{4}\right)+y=-18$$

\frac{-5y+11}{4}क -3 फावटी गुणचें.

$$\frac{15}{4}y-\frac{33}{4}+y=-18$$

y कडेन \frac{15y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{4}y-\frac{33}{4}=-18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{33}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{39}{4}$$

\frac{19}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{39}{19}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{11}{4} त y खातीर -\frac{39}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{39}{19}\right)+\frac{11}{4}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{39}{19} क -\frac{5}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{195}{76}+\frac{11}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{195}{76} क \frac{11}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{101}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{101}{19},y=-\frac{39}{19}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$y-3x=-18$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+5y=11,-3x+y=-18$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-5\left(-3\right)}&\frac{4}{4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 11-\frac{5}{19}\left(-18\right)\\\frac{3}{19}\times 11+\frac{4}{19}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{101}{19}\\-\frac{39}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{101}{19},y=-\frac{39}{19}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$y-3x=-18$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+5y=11,-3x+y=-18$$

4x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$-3\times 4x-3\times 5y=-3\times 11,4\left(-3\right)x+4y=4\left(-18\right)$$

सोंपें करचें.

$$-12x-15y=-33,-12x+4y=-72$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -12x-15y=-33 तल्यान -12x+4y=-72 वजा करचो.

$$-12x+12x-15y-4y=-33+72$$

12x कडेन -12x ची बेरीज करची. अटी -12x आनी 12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-15y-4y=-33+72$$

-4y कडेन -15y ची बेरीज करची.

$$-19y=-33+72$$

72 कडेन -33 ची बेरीज करची.

$$-19y=39$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{39}{19}$$

-3x+y=-18 त y खातीर -\frac{39}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x-\frac{39}{19}=-18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{39}{19} ची बेरीज करची.

$$-3x=-\frac{303}{19}$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{101}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{101}{19},y=-\frac{39}{19}$$