सोडोवचें {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+5y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$4x=-5y+1$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

-5y+1क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

5x-7y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+1}{4} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

\frac{-5y+1}{4}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

-7y कडेन -\frac{25y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{4} वजा करचें.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

-\frac{53}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{1}{53}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4} त y खातीर \frac{1}{53} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{1}{53} क -\frac{5}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{5}{212} क \frac{1}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{12}{53}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

4x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

सोंपें करचें.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 20x+25y=5 तल्यान 20x-28y=4 वजा करचो.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

-20x कडेन 20x ची बेरीज करची. अटी 20x आनी -20x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$25y+28y=5-4$$

28y कडेन 25y ची बेरीज करची.

$$53y=5-4$$

-4 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$53y=1$$

दोनुय कुशींक 53 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{53}$$

5x-7y=1 त y खातीर \frac{1}{53} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

\frac{1}{53}क -7 फावटी गुणचें.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{53} ची बेरीज करची.

$$5x=\frac{60}{53}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{12}{53}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$