सोडोवचें {l}{4x+3y=25}{x-3y/2=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 25 } \\ { x - \frac { 3 y } { 2 } = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=9$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x-3y=-28$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+3y=25$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$4x=-3y+25$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+25\right)$$

-3y+25क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

2x-3y=-28 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+25}{4} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)-3y=-28$$

\frac{-3y+25}{4}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{25}{2}-3y=-28$$

-3y कडेन -\frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{25}{2}=-28$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{25}{2} वजा करचें.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{81}{2}$$

-\frac{9}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=9$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4} त y खातीर 9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{4}\times 9+\frac{25}{4}$$

9क -\frac{3}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-27+25}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{27}{4} क \frac{25}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{1}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x-3y=-28$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{9}\times 25-\frac{2}{9}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x-3y=-28$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

4x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 25,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-28\right)$$

सोंपें करचें.

$$8x+6y=50,8x-12y=-112$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x+6y=50 तल्यान 8x-12y=-112 वजा करचो.

$$8x-8x+6y+12y=50+112$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y+12y=50+112$$

12y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$18y=50+112$$

112 कडेन 50 ची बेरीज करची.

$$18y=162$$

दोनुय कुशींक 18 न भाग लावचो.

$$y=9$$

2x-3y=-28 त y खातीर 9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-3\times 9=-28$$

9क -3 फावटी गुणचें.

$$2x-27=-28$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 27 ची बेरीज करची.

$$2x=-1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$